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ΣathLab Journal
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级数一般记为：∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n

即 ∑n=1∞an=a1+a2+⋯+an+…\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots

级数的部分和，就是前 n 项和： Sn=a1+a2+⋯+an=∑k=1nakS_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k

级数收敛与发散：
如果级数的部分和有极限，即 lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n \to \infty} S_n = S，就称无穷级数收敛， 其中，极限 SS 叫做该级数的和，或者称级数 收敛于 SS， 记作 S=a1+a2+⋯+an+…S = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots, 如果极限 lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n \to \infty} S_n = S 不存在，则称无穷级数发散。

记住几个常用级数的敛散性：

（1）等比级数（几何级数）： ∑n=0∞aqn\sum_{n=0}^{\infty} aq^n

  • 当 ∣q∣<1|q| < 1 时，等比级数收敛，并且收敛于 首项1−公比\frac{\text{首项}}{1 - \text{公比}}，此时收敛于 a1−q\frac{a}{1-q}
  • 当 ∣q∣≥1|q| \ge 1 时，等比级数发散

（2）P 级数： ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}

  • 当 p>1p > 1 时，p 级数收敛
  • 当 p≤1p \le 1 时，p 级数发散

常见的几个 P 级数的敛散性要记住，比如：

  • 调和级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}，发散
  • ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}，此时 p=2p=2，收敛
  • ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}，此时 p=1/2p=1/2，发散
  • 交错调和级数 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}，收敛

一、级数的基本性质

  • 性质 1： 收敛级数乘以一个常数 CC，仍然收敛。
  • 性质 2： 两个收敛级数的和、差仍然收敛。
    • 注意： 1. 如果两个级数都发散，则他们的和、差可能收敛，也可能发散； 2. 如果两个级数和中有且只有一个收敛，则他们的和差一定发散。
  • 性质 3： 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。
  • 性质 4： 若级数 ∑an\sum a_n 收敛，则通项一定趋于零（级数收敛的必要条件）。
    • 注意：性质 4 说明级数的通项趋于零，级数才有可能收敛；如果级数的通项不趋于零，则级数一定发散。

二、常数项级数的审敛法

正项级数的定义： 若 an≥0a_n \ge 0，则称级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 是正项级数。

1. 正项级数的比较审敛法： 设 ∑an\sum a_n 和 ∑bn\sum b_n 都是正项级数，且 an≤bna_n \le b_n，则：

  1. 若级数 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛，则级数 ∑an\sum a_n 也收敛；（大的收敛，则比它小的一定收敛）
  2. 若级数 ∑an\sum a_n 发散，则级数 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 也发散；（小的发散，则比它大的一定发散）

2. 比较审敛法的极限形式： 设 ∑an\sum a_n 和 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 均为正项级数，lim⁡n→∞anbn=l\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = l，那么：

  1. 若 0<l<+∞0 < l < +\infty，两个级数同时收敛，同时发散；
  2. 若 l=0l = 0，且级数 ∑bn\sum b_n 收敛，则级数 ∑an\sum a_n 也收敛；
  3. 若 l=∞l = \infty，且级数 ∑bn\sum b_n 发散，则级数 ∑an\sum a_n 也发散。

3. 比值审敛法： 设 ∑an\sum a_n 为正项级数，如果 lim⁡n→∞an+1an=ρ\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho，则：

  1. ρ<1\rho < 1 时，级数收敛；
  2. ρ>1\rho > 1 时，级数发散；
  3. ρ=1\rho = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

三、交错级数及其判别法

莱布尼茨判别法： 如果交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n 满足以下两个条件：

  1. un≥un+1u_n \ge u_{n+1}（通项单调递减）
  2. lim⁡n→∞un=0\lim_{n \to \infty} u_n = 0（通项趋于零） 则交错级数收敛。

注意：莱布尼茨定理只是交错级数收敛的一个充分条件，并非必要条件。当定理中的两个条件不满足时，不能由此判断交错级数是发散的。

四、任意项级数的绝对收敛与条件收敛

任意项级数： 对于一般的常数项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n，其中 ana_n 为任意实数，可以是正数、负数或 0，这种级数称为任意项级数。 任意项级数取绝对值，就变成一个正项级数 ∑n=1∞∣an∣=∣a1∣+∣a2∣+…\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = |a_1| + |a_2| + \dots

绝对收敛判别法：

  • 定理： 若绝对值级数 ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 收敛，则原级数必收敛。
  • 定义： 设 ∑an\sum a_n 为任意项级数，
    1. 如果级数 ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 收敛，则称原来的级数 绝对收敛；
    2. 如果级数 ∑∣an∣\sum |a_n| 发散，但是原级数收敛，则称原级数 条件收敛。

对于任意项级数敛散性的判别方法： 通常先判断它是否绝对收敛，若是，即可得出绝对收敛；若否，则进一步判定它是条件收敛还是发散。

对于任意项级数的比值审敛法： 对任意项级数 ∑an\sum a_n，如果 lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho，则：

  1. ρ<1\rho < 1 时，原级数绝对收敛，原级数收敛；
  2. ρ>1\rho > 1 时，原级数发散；
  3. ρ=1\rho = 1 时，原级数可能收敛也可能发散，此法失效。